유체역학 실험: 표면장력

표면장력의 이해

공기 중에 물 입자가 있다고 가정해봅시다. 물 입자의 최외곽에 있는 입자들은 상태가 다릅니다.

 

힘 관점에서 이해해보자면, 유체입자들은 서로 인력을 작용합니다. `최외곽에 있는 물 입자들은 원래 다른 물입자를 당겼어야 하는 인력만큼` 주위 물입자에 힘을 씁니다(라고 이해하면 될 것 같습니다).

계면에 있는 입자들은 표면방향으로, 곡면에 접하는 직선방향으로 힘을 더 받습니다. 길이가 늘어나면 늘어날수록 더 힘이 세집니다. 표면장력은 길이당 힘입니다. L에 비례하기 때문에, ${L^2}$이나 ${L^3}$에 비례하는 압력, 중력 등에 비해 작은 스케일의 시스템에서 영향력이 더 커집니다.

 

에너지 관점에서 보자면, 표면에 있는 입자들은 에너지가 열역학적으로 높고, 비교적 안에 있는 입자들은 에너지가 낮습니다. 자연계시스템은 에너지가 낮아지는 방향으로 흐릅니다. 아래와 같이 두 입자가 놓여 있다고 할 때 A의 입자가 표면적이 더 작기 때문에 에너지가 더 낮습니다. 물방울이 펴발라지는 것보다 동글동글하게 뭉쳐지는 이유가 바로 그것입니다.

 

막대로 비누막을 당길 때를 예로 들어봅시다.

 

F의 힘으로 막대를 당겨 가로 L 세로 l만큼의 비누막을 추가로 생성시켰다고 하면, 여기 사용된 일은 아래와 같습니다. 윗면과 아랫면이 동시에 고려되기 때문에 2가 붙습니다.

 

\[work = F \times L = 2\sigma lL = \sigma (2lL)\]

 

추가생성되는 면적 $2lL$을 $\Delta A$ 라고 놓으면, 아래의 식을 얻을 수 있습니다.

\[\begin{gathered}
  \Delta {E_{surface}} = \sigma \Delta A \hfill \\
   \hfill \\
  \sigma  = \frac{{\Delta {E_{surface}}}}{{\Delta A}} \hfill \\ 
\end{gathered} \]

 

즉, 표면장력은 표면의 면적당 에너지이자 단위길이 당 힘으로 이해할 수 있습니다. 표면장력은 두 유체의 조합에 따라 달라지는데, 물과 공기 사이의 계면은 통상적으로 0.07N/m정도의 표면장력을 갖습니다.

 

 

관내 유동 압력손실 측정

 

관내에서 r방향으로 유체의 속도분포는 아래와 같습니다. (Steady, laminar flow, Newtonian fluid)

\[{u_r} = \frac{{{D^2}}}{{16\mu }}\left( { - \frac{{dP}}{{dz}}} \right)\left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{{R^2}}}} \right)\]

이는 Navier-Stokes Equation으로부터 유도됩니다.

 

이를 면적에 대해 적분해주면 유량이 됩니다. 정리하면 아래와 같습니다.

\[Q = \int {{u_r}dA} \]

\[Q = \frac{\pi }{{128}}\frac{{{D^4}\Delta P}}{{\mu l}}\]

 

즉, 관에 채워진 유체의 움직임을 위해서는 압력이 필요하다는 것입니다. 

 

 

관내에서 압력을 받는 유체의 일부를 생각해보면(붉은색은 control volume), 유체가 steady하다면 압력에 대한 어떤 반대되는 힘(F)이 있어야 유체가 가속되지 않음을 알 수 있습니다.  그리고 그 힘은 아래의 비례관계를 만족합니다.

 

\[F \propto {f_n}(\mu ,A,\frac{{\partial u}}{{\partial r}})\]

 

이 힘을 점성 마찰력이라고 합니다. 벽면과 바로 접한 유체입자는 멈춰있고, 그로부터 멀어질수록 점차 속도가 달라집니다. control volume 부근에서도 바로 안과 바로 밖에서 유체입자 속도는 비슷합니다. 유체 입자들은 근처 입자들에게 자신의 운동상태를 전파합니다. 이것이 바로 `점성`입니다. 

 

어떤 관이 있다면 유체가 움직이는 방향으로 압력은 점점 떨어집니다. 몇 km 떨어진 거리까지 유체를 보내려면 알아야하는 인자는 길이당 압력이 얼마큼 떨어지는지입니다. 이를 무차원수로 바꿔보면, 아래와 같이 되고 이를 friction factor라고 합니다.

 

\[\frac{{\Delta P}}{l} = \frac{{\frac{{\Delta P}}{{\frac{1}{2}\rho {u_{av}}^2}}}}{{\frac{l}{D}}} \equiv f{\text{   }}(friction{\text{ }}factor)\]

 

`laminar flow`에 대해서는 이를 아래와 같이 정리해줄 수 있습니다.

\[f = \frac{{\frac{{\frac{{128Q\mu l}}{{\pi {D^4}}}}}{{\frac{1}{2}\rho {u_{av}}^2}}}}{{\frac{l}{D}}} = \frac{{64}}{{\operatorname{Re} }}\]

 

이는 아래 두 식으로부터 나온 것입니다.

\[\begin{gathered}
  Q = {u_{av}}\frac{\pi }{4}{D^2} \hfill \\
   \hfill \\
  \operatorname{Re}  = \frac{{\rho {u_{av}}D}}{\mu } \hfill \\ 
\end{gathered} \]

 

 

`Turbulent flow`에서는 어떻게 될까요? 유동이 불규칙해지기때문에 Random한 특성이 생기고, 평균값을 도입해서 이해해야합니다. 난류에서는 입자들이 뒤죽박죽 섞이기 때문에 입자들이 운동량을 전파하는 특성이 좋아집니다. 즉, `friction factor`가 높아집니다. 이를 해석적으로 이해하기는 어렵기 때문에 실험을 해보는 것이 중요합니다. 이를 정리한 것이 바로 `Moody Chart`입니다.

출처: Wekipedia

 

레이놀즈 수에 따른 friction factor를 알 수 있습니다. 표면조도(거칠기)가 커질수록 난류 영역에서 friction factor가 올라갑니다.

 

유체를 이용한 캡슐의 이송

 

나비에스톡스 방정식 같은 경우 미소체적에 대해 얘기하지만, 유한한 크기에 대해서 CV를 설정하고 적분으로 이야기해봅시다.

 

그림과 같이 관내를 이동하는 캡슐을 생각해보면, 아래의 식을 세울 수 있습니다.

\[\left( {{P_1} - {P_2}} \right)A - Mg + {F_v} = 0\]

 

여기서 중요한 것은 `캡슐과 벽면 사이의 유량`과 `마찰력`이라고 할 수 있습니다. 그 사이에서 Inertia를 무시하고 압력, 점성력, 중력을 고려하면 아래와 같은 식이 나옵니다.

\[ - \frac{{\partial P}}{{\partial x}} - \rho g + \mu \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}} = 0\]