Complex Exponential
Euler's Formula를 기반으로 복소수를 좌표평면에 아래의 형식으로 나타낼 수 있습니다.
\[r{e^{j\theta }} = r\cos \theta + jr\sin \theta \]
Rotating vector로 나타내면 아래와 같습니다.
\[r{e^{j\omega t}} = r\cos \omega t + jr\sin \omega t\]
cos파트는 실수부이고 sin파트는 허수부입니다.
Complex Amplitutde
General Sinusoid는 합성해서 일반형으로 쓴 식인데 여기서 t함수의 계수가 되는 부분이 Complex Amplitude가 됩니다.
\[x(t) = Acos(\omega t + \varphi ) = \operatorname{Re} (A{e^{j\varphi }}{e^{j\omega t}})\]
\[A{e^{j\varphi }} = complex{\text{ }}Amplitude\]
`Complex Amplitude`를 구하는 예를 들어봅시다.
\[x(t) = \sqrt 3 \cos (77\pi t + 0.5\pi )\]
위와 같은 식의 `complex Amplitude`=`X`를 구하면
\[\begin{gathered}
x(t) = \operatorname{Re} (\sqrt 3 {e^{j(77\pi t + 0.5\pi )}}) \hfill \\
\hfill \\
= Re(\sqrt 3 {e^{j0.5\pi }}{e^{j77\pi t}}) \hfill \\
\hfill \\
X = \sqrt 3 {e^{j0.5\pi }} \hfill \\
\end{gathered} \]
이렇게 됩니다. cos에서 e로 갈 때 Re()를 이용하는게 포인트입니다.
Sum of Sinusoids
\[\begin{gathered}
{x_1}(t) = \cos (77\pi t) \hfill \\
{x_2}(t) = \sqrt 3 \cos (77\pi t + 0.5\pi ) \hfill \\
\end{gathered} \]
예를 들어 위 두 식을 합친다고 할 때, 두 식을 지수함수의 실수부인 것으로 고려해주면
\[\begin{gathered}
{x_1}(t) = \cos (77\pi t) = Re({e^{j0}}{e^{j77\pi t}}) \hfill \\
{x_2}(t) = \sqrt 3 \cos (77\pi t + 0.5\pi ) = Re(\sqrt 3 {e^{j0.5\pi }}{e^{j77\pi t}}) \hfill \\
{x_1}(t) + {x_2}(t) = \operatorname{Re} \left( {\left( {{e^{j0}} + \sqrt 3 {e^{j0.5\pi }}} \right){e^{j77\pi t}}} \right) \hfill \\
= \operatorname{Re} \left( {2{e^{j\frac{\pi }{3}}}{e^{j77\pi t}}} \right) \hfill \\
= 2\cos (77\pi t + \frac{\pi }{3}) \hfill \\
\end{gathered} \]
위와 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
Sum of Complex Amplitude
아래는 두 함수의 complex Amplitude를 구하고, 이를 합치는 예제입니다.
\[\begin{gathered}
{x_1}(t) = 1.7\cos (20\pi t + 0.388\pi ) \hfill \\
{x_2}(t) = 1.9\cos (20\pi t + 1.11\pi ) \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
{X_1} = 1.7{e^{j0.388\pi }} = \left( {0.581} \right) + j\left( {1.597} \right) \hfill \\
{X_2} = 1.9{e^{j1.11\pi }} - \left( { - 1.785} \right) + j( - 0.650) \hfill \\
{X_3} = {X_1} + {X_2} = ( - 1.204) + j(0.948) \hfill \\
= {A_3}{e^{j{\phi _3}}} = \sqrt {{{\left( { - 1.204} \right)}^2} + {{\left( {0.948} \right)}^2}} + {e^{j{{\tan }^{ - 1}}\frac{{0.948}}{{ - 1.204}}}} \hfill \\
= 1.532{e^{j\left( {\frac{{142}}{{180}}\pi } \right)}} \hfill \\
{x_3}(t) = 1.532\cos (20\pi t + \frac{{142\pi }}{{180}}) \hfill \\
\end{gathered} \]